批捕后可以不逮捕，因为可提出取保候审申请。一般逮捕后三到六个月左右会判刑。

但是检察院批捕后公安不执法显然是不合法的，根据法律规定，检察机关作出批准逮捕的决定后由公安机关执行，《刑事诉讼法》第88条规定执行期限为“立即”，但并未具体规定“立即”的时限是多久。司法实践中，有的公安机关执行逮捕时较为随意，如在有立即执行逮捕的条件时，批准逮捕决定作出后两三天再执行逮捕的情况较为常见。在有立即执行逮捕的条件时，批准逮捕后不及时执行违反了刑事诉讼法，应该予以纠正。

刑事拘留通知，公安机关对被拘留的人，应当把拘留的原因和和羁押的处所，在24小时内以内通知被拘留人的家属或者他的所在单位。

刑事拘留是指当事人被公安派出所抓获，经讯问后，认为涉嫌犯罪，公安机关在24小时内决定对当事人采取的一种强制措施，并同时送往看守所关押，公安机关侦查案情。

刑事拘留的期限中，法律规定最长可以是37天，37天内要么提请检察院批捕，要么放人或者改成监视居住或者取保候审的强制措施。如果在37天内，检察院批准逮捕，那么犯罪嫌疑人将会被延长羁押期限至法院的审判，最终由法院定罪量刑。在实践中，若非涉嫌重大复杂的犯罪，一般会在拘留后10-20天提请检察院批捕，如果案情简单，会在更短的时间内提请批捕。(拘留后三日内提请检察院审查批准，特殊情况延长4日，重大案件延长30日，即3十4十30=37天)

批捕后，案件退回到公安机关，由派出所或者预审大队继续侦查案件情况。2个月内案件侦查清楚，提交检察院审查起诉。对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。

一般情况下，检察院批捕后公安应当立即执行逮捕决定。在特殊情况下，检察院在下达批捕命令后，公安机关可能需要进行线索摸排或者进一步将案情查实，需要进一步搜集证据，所以不会立即行动，但只有检察机关下达了批捕命令，就意味着必须将当事人进行逮捕。